행렬식의 의미 (20210421)

행렬식은 행렬의 특성을 하나의 숫자로 표현하는 방법의 하나이다. 행렬식의 절댓값은 해당 행렬이 단위 공간을 얼마나 늘렸는지, 혹은 줄였는지를 나타낸다. 만약 행렬식이 1이라면 해당 행렬이 단위 공간의 부피와 같다는 것을 의미하고, 행렬식이 0이라면 해당 행렬이 나타내는 부피가 0이라는 뜻이다. 반대로 행렬식의 크기가 10이라면 해당 행렬이 단위 공간 부피의 10배에 해당한다는 뜻이다.

 

행렬식에 대한 위키의 정의는 다음과 같다.

선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다. [1] 실수 정사각 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 나타내는 선형 변환이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 방향 보존 여부를 나타낸다.

간단하게 2x2의 행렬을 살펴보도록 하자.

이 행렬을 좌표 공간에 표현하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 두 벡터를 이용해 만들 수 있는 우측 도형의 면적이 해당 행렬의 행렬식(determinant)의 절대값이다. 즉, 벡터를 이용해 만들 수 있는 부피이다.

다음 행렬을 살펴보도록 하자.

이 벡터로 구성된 도형은 평행사변형이다. 마찬가지로 행렬식의 절대값은 이 도형의 면적을 의미한다.

  그렇다면 3x3행렬의 경우에는 3차원 공간 속에서 해당 행렬 속에 있는 벡터로 구성된 3차원 도형의 부피를 뜻하는 것이며, n x n 행렬식의 의미는 n차원 공간의 벡터들로 구성된 도형의 부피라는 것을 알 수 있다.

  그렇기 때문에 영벡터가 아닌 벡터로 구성된 도형의 행렬식이 0이라는 말은, 행렬을 구성하는 벡터가 서로 동일선상에 있다는 뜻이 되며, 이는 행렬을 구성하는 벡터가 해당 공간의 기저가 아님을 의미한다. 또한 행렬을 구성하는 행이나 열이 바뀌어도 행렬식의 절대값은 바뀌지 않는데, 이는 벡터의 순서만 바뀔뿐이기 때문이다. 

 

 

출처

 

[선형대수] 행렬식(determinant)의 의미